均值-方差优化 ¶

作者：Robert Andrew Martin

译者：片刻小哥哥

项目地址：https://portfolio.apachecn.org/MeanVariance

原始地址：https://pyportfolioopt.readthedocs.io/en/latest/MeanVariance.html

一般来说，数学优化是一个非常困难的问题，特别是当我们处理具有复杂的目标和约束。然而， 凸优化 问题是很好理解的这类问题恰好对金融非常有用。凸问题具有以下形式：

\[ \begin{split}\begin{equation*} \begin{aligned} & \underset{\mathbf{x}}{\text{minimise}} & & f(\mathbf{x}) \\ & \text{subject to} & & g_i(\mathbf{x}) \leq 0, i = 1, \ldots, m\\ &&& A\mathbf{x} = b,\\ \end{aligned} \end{equation*}\end{split} \]

其中 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) 和 \(f(\mathbf{x}), g_i(\mathbf{x})\) 是凸函数。 [1]

幸运的是，投资组合优化问题(具有标准目标和约束)是凸的。这使我们能够立即应用大量的理论以及精致的解决例程 - 因此，主要的困难是将我们的具体问题输入到求解器中。

PyPortfolioOpt 旨在为您完成艰苦的工作，允许像 ef.min_volatility() 生成一个将波动性降至最低的投资组合，同时允许更多由模块化单元构建的复杂问题。这一切都归功于 cvxpy ，这 极好的 python 嵌入式建模 PyPortfolioOpt 有效前沿功能所依赖的凸优化语言。

提示

您可以在相关 recipe 中找到完整的示例。

结构 ¶

正如凸问题的定义所示，我们本质上需要指定两件事：优化目标和优化约束。例如，经典的投资组合优化问题是 最小化风险 受 返回约束(即投资组合必须返回超过一定金额)。但从实施的角度来看，目标和约束之间没有太大区别。考虑一个类似的问题，即 回报最大化 受 风险约束 – 现在，风险和回报的角色已经互换。

为此，PyPortfolioOpt 定义了一个 objective_functions 模块，其中包含目标函数(也可以充当约束，正如我们刚刚看到的)。实际的优化发生在 efficient_frontier.EfficientFrontier 类中。此类提供了用于优化不同目标的简单方法(全部记录如下)。

然而，PyPortfolioOpt 的设计使您可以轻松地向现有问题添加新的约束或客观术语。例如，将正则化目标(如下所述)添加到最小波动率目标非常简单：

ef = EfficientFrontier(expected_returns, cov_matrix)  # setup
ef.add_objective(objective_functions.L2_reg)  # add a secondary objective
ef.min_volatility()  # find the portfolio that minimises volatility and L2_reg

!!! tip "提示"

如果您想绘制有效边界，请查看 [绘图](/Plotting#plotting) 模块。

基本用法 ¶

effective_frontier 模块包含 EfficientFrontier 类及其子类，它们为各种可能的目标函数和参数生成最佳投资组合。

class pypfopt.efficient_frontier.EfficientFrontier(expected_returns, cov_matrix, weight_bounds=(0, 1), solver=None, verbose=False, solver_options=None) [来源] ¶

一个EfficientFrontier对象(继承自BaseConvexOptimizer)包含多个可调用的优化方法(对应不同的目标函数)具有各种参数。注意：新的 EfficientFrontier 对象应该如果您想对目标/约束/边界/参数进行任何更改，请实例化。

实例变量：

输入：
n_assets - int
tickers - str 列表
bounds - float 元组或(float 元组)列表
cov_matrix - np.ndarray
expected_returns - np.ndarray
solver - str
solver_options - {str: str} dict
输出：weights - np.ndarray

公共方法：

min_volatility() 优化以最小化波动性
max_sharp() 优化最大夏普比率(又称切线投资组合)
max_quadratic_utility() 考虑到一定的风险规避，最大化二次效用。
efficient_risk() 最大化给定目标风险的回报
efficient_return() 最大限度地降低给定目标回报的风险
add_objective() 向优化问题添加(凸)目标
add_constraint() 为优化问题添加约束
convex_objective() 求解具有线性约束的通用凸目标
portfolio_performance() 计算预期回报、波动率和夏普比率优化的投资组合。
set_weights() 从权重字典创建 self.weights (np.ndarray)
clean_weights() 将 weights and clips 四舍五入到接近零。
save_weights_to_file() 将权重保存为 csv、json 或 txt。

__init__(expected_returns, cov_matrix, weight_bounds=(0, 1), solver=None, verbose=False, solver_options=None) [来源] ¶

Parameters:

expected_returns ( pd.Series, list, np.ndarray ) – 每项资产的预期回报。如果仅针对波动性进行优化，则可以为 None(但不推荐)。
cov_matrix ( pd.DataFrame 或者 np.array ) – 每项资产收益的协方差。这必须是正半定，否则优化将失败。
weight_bounds ( uple 或 tuple list, optional ) – 每个资产的最小和最大权重或单个最小/最大对(如果全部相同)默认为 (0, 1)。对于做空的投资组合，必须更改为 (-1, 1)。
solver ( str ) – 求解器的名称。列出可用的求解器：cvxpy.installed_solvers()
verbose ( bool, optional ) – 是否应该打印性能和调试信息，默认为 False
solver_options ( dict, optional ) – 给定求解器的参数

Raises:

TypeError – 如果 Expected_returns 不是series, list 或array
TypeError – 如果 cov_matrix 不是 dataframe 或 array

笔记

从 v0.5.0 开始，您可以传递表示不同资产的不同边界的(最小、最大)对的集合(列表或元组)。

!!! tip "提示"

如果您想生成只做空的投资组合，有一个快速技巧。乘 您的预期回报为 -1，然后优化多头投资组合。

min_volatility() [来源] ¶

最大限度地减少波动性。

Returns: 波动性最小化投资组合的资产权重

Return type: 有序字典

max_sharpe(risk_free_rate=0.02) [来源] ¶

最大化夏普比率。结果也称为切线组合，因为它是资本市场线与有效边界相切的投资组合。

这是进行一定变量替换后的凸优化问题。看 Cornuejols 和 Tutuncu (2006) 了解更多。

Parameters: risk_free_rate ( float, optional ) – 无风险借贷利率，默认为0.02。无风险利率的期限应与预期回报的频率。

Raises: ValueError - 如果 无风险率 是非数字的

Returns: 夏普最大化投资组合的资产权重

Return type: 有序字典

警告

由于 max_sharp() 进行了变量替换，因此其他目标可能无法按预期工作。

max_quadratic_utility(risk_aversion=1, market_neutral=False) [来源] ¶

最大化给定的二次效用，即：

\[ \max_w w^T \mu - \frac \delta 2 w^T \Sigma w \]

Parameters:

risk_aversion ( 正float ) – 风险厌恶参数(必须大于0)，默认为 1
market_neutral – 投资组合是否应该是市场中性的(权重总和为零)，默认为 False。需要负权重下限。
market_neutral – bool，可选

Returns: 最大效用投资组合的资产权重

Return type: 有序字典

笔记

pypfopt.black_litterman 提供了计算市场隐含的方法风险规避参数，在没有其他参数的情况下给出有用的估计信息！

efficient_risk(target_volatility, market_neutral=False) [来源] ¶

最大化目标风险的回报。由此产生的投资组合将具有波动性小于目标(但不保证等于)。

Parameters:

target_volatility ( float ) – 最终投资组合所需的最大波动性。
market_neutral – 投资组合是否应该是市场中性的(权重总和为零)，默认为 False。需要负权重下限。
market_neutral – bool，可选

Raises:

ValueError - 如果 target_volatility 不是正float 数
ValueError – 如果找不到波动率等于 target_volatility 的投资组合
ValueError - 如果 risk_free_rate 是非数字的

Returns: 有效风险投资组合的资产权重

Return type: 有序字典

警告

如果将不合理的目标传递给 efficient_risk() 或 efficient_return()，优化器将默默地失败并返回奇怪的权重。买者自负适用！

efficient_return(target_return, market_neutral=False) [来源] ¶

计算“马科维茨投资组合”，最大限度地减少给定目标回报的波动性。

Parameters:

target_return ( float ) – 最终投资组合的期望回报。
market_neutral ( bool, optional ) – 投资组合是否应该是市场中性的(权重总和为零)，默认为 False。需要负权重下限。

Raises:
ValueError - 如果 target_return 不是正float 数 * ValueError* – 如果找不到回报等于 target_return 的投资组合

Returns: 马科维茨投资组合的资产权重

Return type: 有序字典

portfolio_performance(verbose=False, risk_free_rate=0.02) [来源] ¶

优化后，计算(并可选择打印)最佳性能文件夹。目前计算预期回报、波动率和夏普比率。

Parameters:

verbose ( bool, optional ) – 是否应该打印性能，默认为 False
risk_free_rate ( float, optional ) – 无风险借贷利率，默认0.02。无风险利率的期限应与预期收益的频率相对应。

Raises: ValueError – 如果尚未计算权重

Returns: 预期回报、波动性、夏普比率。

Return type: (float, float, float)

提示

如果您想独立于任何优化器使用 portfolio_performance 函数(例如出于调试目的)，您可以使用：

from pypfopt import base_optimizer

base_optimizer.portfolio_performance(
    weights, expected_returns, cov_matrix, verbose=True, risk_free_rate=0.02
)

笔记

PyPortfolioOpt 遵循 cvxpy 求解器的默认选择。如果您想显式选择求解器，只需将可选的solver = "ECOS" kwarg 传递给构造函数即可。您可以从任何受支持的求解器中进行选择，并通过 solver_options(一个 dict)传入求解器参数。

添加目标和约束 ¶

EfficientFrontier 继承自 BaseConvexOptimizer 类。特别是，这些功能添加约束和目标记录如下：

class pypfopt.base_optimizer.BaseConvexOptimizer

BaseConvexOptimizer.add_constraint(new_constraint) ¶

向优化问题添加新的约束。该约束必须满足 DCP 规则，即是线性等式约束或凸不等式约束。

例子：

ef.add_constraint(lambda x : x[0] == 0.02)
ef.add_constraint(lambda x : x >= 0.01)
ef.add_constraint(lambda x: x <= np.array([0.01, 0.08, ..., 0.5]))

Parameters: new_constraint ( 可调用(例如 lambda 函数)* ) – 要添加的约束

BaseConvexOptimizer.add_sector_constraints(sector_mapper, sector_lower, sector_upper) ¶

添加对不同资产组的权重总和的约束。最常见的是，这些将是行业限制，例如投资组合的风险敞口 tech 必须小于 x%：

sector_mapper = {
    "GOOG": "tech",
    "FB": "tech",,
    "XOM": "Oil/Gas",
    "RRC": "Oil/Gas",
    "MA": "Financials",
    "JPM": "Financials",
}

sector_lower = {"tech": 0.1}  # at least 10% to tech
sector_upper = {
    "tech": 0.4, # less than 40% tech
    "Oil/Gas": 0.1 # less than 10% oil and gas
}

Parameters:

sector_mapper ( {str: str} dict ) – 将股票代码映射到sector的字典
sector_lower ( {str: float} dict ) – 每个sector的下限
sector_upper ( {str:float} dict ) – 每个sector的上限

BaseConvexOptimizer.add_objective(new_objective, **kwargs) ¶

在目标函数中添加一个新项。该项必须是凸的，并由 cvxpy 原子函数构建。

例子：

def L1_norm(w, k=1):
    return k * cp.norm(w, 1)

ef.add_objective(L1_norm, k=2)

Parameters: new_objective ( cp.Expression(即 cp.Variable 的函数) ) – 要添加的目标

目标函数 ¶

objective_functions 模块提供优化目标，包括 EfficientFrontier 对象的优化方法调用的实际目标函数。这些方法主要设计用于优化期间的内部使用，并且每个方法都需要不同的签名(这就是它们没有被分解到类中的原因)。出于显而易见的原因，任何目标函数都必须接受 weights 作为参数，并且还必须至少具有 expected_returns 或 cov_matrix 之一。

目标函数要么计算给定权重的 numpy 数组的目标，要么当权重是 cp.Variable 时返回 cvxpy 表达式。这样，相同的目标函数既可以在内部用于优化，也可以在外部用于计算目标给定权重。 _objective_value() 自动在两种行为之间进行选择。

objective_functions 默认为最小化目标。在明确应该最大化的目标(例如夏普比率、投资组合回报)的情况下，目标函数实际上返回负值，因为最小化负值相当于最大化正值。此行为由 negative=True 可选参数控制。

目前实施：

投资组合方差(即波动率的平方)
投资组合回报
夏普比率
L2 正则化(最小化这会减少非零权重)
二次效用
交易成本模型(简单)
Ex-ante(平方)跟踪误差
Ex-post(平方)跟踪误差

pypfopt.objective_functions.L2_reg(w, gamma=1) [来源] ¶

L2 正则化，即 \(\gamma ||w||^2\) ，增加非零权重的数量。

例子：

ef = EfficientFrontier(mu, S)
ef.add_objective(objective_functions.L2_reg, gamma=2)
ef.min_volatility()

Parameters:

w ( np.ndarray 或 cp.Variable ) – 投资组合中的资产权重
gamma ( float, optional ) – L2 正则化参数，默认为 1。如果需要更多，请增加不可忽略的权重

Returns: 目标函数值或目标函数表达式

Return type: float 或 cp.Expression

pypfopt.objective_functions.ex_ante_tracking_error(w, cov_matrix, benchmark_weights) ¶

计算事前跟踪误差(的平方)，即 \((w - w_b)^T \Sigma (w-w_b)\)。

Parameters:

w ( np.ndarray 或 cp.Variable ) – 投资组合中的资产权重
cov_matrix ( np.ndarray ) – 协方差矩阵
benchmark_weights ( np.ndarray ) – 基准中的资产权重

Returns: 目标函数值或目标函数表达式

Return type: float OR cp.Expression

pypfopt.objective_functions.ex_post_tracking_error(w, historic_returns, benchmark_returns) [来源] ¶

计算事后跟踪误差(的平方)，即 \(Var(r - r_b)\) 。

Parameters:

w ( np.ndarray 或 cp.Variable ) – 投资组合中的资产权重
historic_returns ( np.ndarray ) – 历史资产回报率
benchmark_returns ( pd.Series 或者 np.ndarray ) – 历史基准回报

Returns: 目标函数值或目标函数表达式

Return type: float 或 cp.Expression

pypfopt.objective_functions.portfolio_return(w, expected_returns, negative=True) [来源] ¶

计算投资组合的(负)平均回报

Parameters:

w ( np.ndarray 或 cp.Variable ) – 投资组合中的资产权重
expected_returns ( np.ndarray ) – 每项资产的预期回报
negative ( boolean ) – 数量是否应设为负数(以便我们可以最小化)

Returns: 平均回报为负

Return type: float

pypfopt.objective_functions.portfolio_variance(w, cov_matrix) [来源] ¶

计算总投资组合方差(即波动率平方)。

Parameters:

w ( np.ndarray 或 cp.Variable ) – 投资组合中的资产权重
cov_matrix ( np.ndarray ) – 协方差矩阵

Returns: 目标函数值或目标函数表达式

Return type: float 或 cp.Expression

pypfopt.objective_functions.quadratic_utility(w, expected_returns, cov_matrix, risk_aversion, negative=True) [来源] ¶

二次效用函数，即 \(\mu - \frac 1 2 \delta w^T \Sigma w\) 。

Parameters:

w ( np.ndarray 或 cp.Variable ) – 投资组合中的资产权重
expected_returns ( np.ndarray ) – 每项资产的预期回报
cov_matrix ( np.ndarray ) – 协方差矩阵
risk_aversion ( float )——风险厌恶系数。增加以降低风险。
negative ( boolean ) – 数量是否应设为负数(以便我们可以最小化)。

Returns: 目标函数值或目标函数表达式

Return type: float 或 cp.Expression

pypfopt.objective_functions.sharpe_ratio(w, expected_returns, cov_matrix, risk_free_rate=0.02, negative=True) [来源] ¶

计算投资组合的(负)夏普比率

Parameters:

w ( np.ndarray 或 cp.Variable ) – 投资组合中的资产权重
expected_returns ( np.ndarray ) – 每项资产的预期回报
cov_matrix ( np.ndarray ) – 协方差矩阵
risk_free_rate ( float, optional ) – 无风险借贷利率，默认为0.02。无风险利率的期限应与预期回报的频率。
negative ( boolean ) – 数量是否应设为负数(以便我们可以最小化)

Returns: (负)夏普比率

Return type: float

pypfopt.objective_functions.transaction_cost(w, w_prev, k=0.001) [来源] ¶

一个非常简单的交易成本模型：将所有权重变化相加并乘以给定分数(默认为 10bps)。这模拟了来自经纪人的固定百分比佣金。

Parameters:

w ( np.ndarray 或 cp.Variable ) – 投资组合中的资产权重
w_prev ( np.ndarray ) – 之前的权重
k ( float ) – 每单位权重交换的分数成本

Returns: 目标函数值或目标函数表达式

Return type: float OR cp.Expression

有关 L2 正则化的更多信息 ¶

正如用户指南中所讨论的，均值方差优化通常会导致许多权重可以忽略不计，即有效的投资组合最终不会包含大部分资产。这是预期的行为，但如果您的投资组合中需要一定数量的资产，则可能不希望出现这种情况。

为了强制均值方差优化器产生更多不可忽略的权重，我们向所有目标函数添加了可被视为“小权重惩罚”的内容，并由 \(\gamma\)(gamma)参数化。例如，考虑最小方差目标，我们有：

\[ \underset{w}{\text{minimise}} ~ \left\{w^T \Sigma w \right\} ~~~ \longrightarrow ~~~ \underset{w}{\text{minimise}} ~ \left\{w^T \Sigma w + \gamma w^T w \right\} \]

请注意，\(w^T w\) 与权重平方和相同(我没有明确编写此内容是为了减少 \(\Sigma\) 表示协方差矩阵和求和运算符造成的混乱)。该术语减少了可忽略的权重数量，因为当所有权重均等分配时，它具有最小值，而在整个投资组合分配给一项资产的极限情况下，它具有最大值。我将其称为 L2 正则化，因为它与机器学习中的 L2 正则化项具有完全相同的形式，尽管目的略有不同(在 ML 中，它用于保持较小的权重，而在这里，它用于使权重变大)。

笔记

在实践中，必须调整 \(\gamma\) 以达到您想要的正则化水平。但是，如果资产范围较小(少于 20 个资产)，则 gamma=1 是一个很好的起点。对于更大的宇宙，或者如果您希望最终投资组合中有更多不可忽略的权重，请增加 gamma。

参考文献 ¶

[1] Boyd, S.; Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization

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